用旋转矩阵理解三角函数两角和公式

Sep 16, 2023

三角函数的两角和公式可以直接背下来，也可以把它看成一个更简单的问题：一个向量先转过 $\alpha$ ，再转过 $\beta$ ，会到哪里？

把旋转写成矩阵，公式就自然出现了。

先看两个基向量

在固定的二维直角坐标系中，把向量逆时针旋转 $\beta$ 。原来的两个单位基向量分别变成：

\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}\cos\beta\\\sin\beta\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}-\sin\beta\\\cos\beta\end{pmatrix}.

线性变换矩阵的两列，就是两个基向量变换后的坐标。因此，旋转矩阵是：

R(\beta)= \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix}.

这样就不用单独记忆矩阵里哪个位置有负号。只要想清楚两个基向量转到了哪里，就能把矩阵写出来。

这里讨论的是坐标系不动、向量旋转。若向量不动而旋转坐标轴，坐标变换要使用逆矩阵，不能把这两件事混为一谈。

与 $x$ 轴正方向夹角为 $\alpha$ 的单位向量是：

u(\alpha)= \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix}.

再逆时针转过 $\beta$ ，它的角度变成 $\alpha+\beta$ ，所以：

\begin{pmatrix} \cos(\alpha+\beta)\\ \sin(\alpha+\beta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\beta & -\sin\beta\\ \sin\beta & \cos\beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\alpha\\\sin\alpha\end{pmatrix}.

展开矩阵乘法，比较两个坐标：

\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\\ \sin(\alpha+\beta) &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta. \end{aligned}

两角和公式，就是连续旋转在坐标上的表达。换成矩阵语言，同一件事也可以写成：

R(\beta)R(\alpha)=R(\alpha+\beta).

这个结论针对同一平面内的旋转，不能直接推广成任意三维旋转都可以交换顺序。

欧拉公式把单位圆上的点写成复数：

e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.

因为

e^{i(\alpha+\beta)}=e^{i\alpha}e^{i\beta},

所以

\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) &=(\cos\alpha+i\sin\alpha)(\cos\beta+i\sin\beta)\\ &=(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\ &\quad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta). \end{aligned}

比较实部与虚部，就再次得到了两角和公式。

矩阵作用在二维实向量上，复数乘法作用在复平面上。在这里，它们描述的是同一个旋转过程。理解了这个过程，公式就不再是一组需要分别记住的符号。