阅读《数学是什么》中关于棣莫弗公式和单位根的内容时，我觉得最有帮助的理解方式是：把复数乘法看成旋转与缩放。

这样，复数的乘法、乘方和求单位根，就能放到同一张单位圆上理解。

乘法：模相乘，辐角相加

一个非零复数可以写成极坐标形式：

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta),\qquad r>0.$$

其中，$r=|z|$ 是模，$\theta$ 是辐角。设两个非零复数分别为：

$$z_1=r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha),\qquad z_2=r_2(\cos\beta+i\sin\beta).$$

展开乘法，再利用正弦与余弦的两角和公式，可以得到：

$$z_1z_2=r_1r_2\bigl(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\bigr).$$

也就是说，模相乘，辐角相加。

如果两个复数都在单位圆上，它们的模都是 1，乘积仍在单位圆上。此时只剩下角度的相加，也就是旋转。

乘方：把同一个角度重复相加

单位圆上的复数乘以自身，相当于把角度加倍。把同一个复数连乘 $n$ 次，就把辐角累加 $n$ 次。因此，对正整数 $n$ 有：

$$(\cos\theta+i\sin\theta)^n =\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$$

这就是棣莫弗公式。它把复数乘方变成了角度的整数倍变化。

单位根：转多少次能回到 1？

现在反过来求解：

$$z^n=1,\qquad n\in\mathbb{Z}_{>0}.$$

因为 $|z|^n=1$，所以 $|z|=1$。所有解都在单位圆上，可以写成 $z=\cos\theta+i\sin\theta$。

根据棣莫弗公式，条件变成：

$$\cos(n\theta)=1,\qquad \sin(n\theta)=0.$$

因此 $n\theta$ 必须是 $2\pi$ 的整数倍。取互不重复的角度，得到全部 $n$ 个单位根：

$$z_k=\cos\frac{2\pi k}{n}+i\sin\frac{2\pi k}{n}, \qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

它们沿单位圆均匀分布，相邻两个根之间的角度差是 $2\pi/n$。

$n$	全部 $n$ 次单位根
1	$1$
2	$1$, $-1$
3	$1$, $-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}$, $-\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}$
4	$1$, $i$, $-1$, $-i$

例如，四次单位根每隔 $90^\circ$ 取一个点，分别落在实轴和虚轴上。每个根的四次方都等于 1。

欧拉公式：更紧凑的表达

欧拉公式是：

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.$$

用它来表达，同样的几何关系可以写得更短：

$$(e^{i\theta})^n=e^{in\theta},\qquad z_k=e^{2\pi i k/n}.$$

把 $\theta=\pi$ 代入欧拉公式：

$$e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1,$$

于是得到熟悉的等式：

$$e^{i\pi}+1=0.$$

这些公式并不是彼此无关的技巧。它们把单位圆上的旋转，分别写成三角函数、复数乘法和指数函数的形式。

阅读来源与相关笔记

• 《数学是什么》中关于棣莫弗公式与单位根的讨论，是原笔记的阅读来源。
• 用旋转矩阵理解三角函数两角和公式是本次整理补充的相关链接，从二维实向量的角度解释同一个旋转过程。

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摘编自我的《有趣的等式》笔记，沿用源文件最后编辑日期：2019 年 5 月 12 日。本篇整理其中关于复数、棣莫弗公式、单位根和欧拉公式的内容。